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也谈利率的计算公式
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广告招租，e-mail:yesize@hotmail.com 本文在起始不变原则、倍本原则和迭加原则假定下，得出资金率生长函数；指出其神同形异的两种表现形式；列出常用的单位时间利率——年利率、月利率、日利率三者之间的互换关系。 李炜同志与高俊科同志就“复利率的连续计算方法”在“数理统计与管理”上展开了讨论［1，2］。本文想就此问题谈谈个人的看法，以期引出明确而科学的认识。 §1.资金率生长公式 设初始起存本金为A0元，t时间后的资金总额(本息合计)为A(A0,t)。这是一个二元连续函数。根据对储蓄存款内涵的分析研究，我们认为A(A0,t)应满足如下的三个假设条件： 首先，起始不变原则：即要求 A(A0,0)=A0 (1) 其次，倍本原则：存期相同时的资金总额与初始本金成正比，其比例系数仅是与存期t有关的函数，记为f(t)。亦即要求 A(A0,t)=A0.f(t) (2) 第三，续存迭加原则：将起始本金A0、已存期t1的资金总额做为新本金，接续存t2时间后的新资金总额，应与原始本金A0、存期(t1+t2)时间的资金总额相等。即要求对任意的t1，t2皆有 A(A(A0,t1),t2)=A(A0,t1+t2) (3) 实际上，这第三条就是复利原则。 下面，我们来推导满足这三条假设的连续函数所具有的形式。 由(1)、(2)知 f(0)=1 (4) (2)代入(3)之左边得 A(A(A0,t1),t2)=A(A0.f(t1),t2) =A0.f(t1).f(t2)(5) (2)代入(3)之右边得 A(A0,t1+t2)=A0.f(t1+t2) (6) (5)与(6)结合而得出 f(t1+t2)=f(t1).f(t2) (7) 记 f1≡f(1) (8) 由(7)可以进一步推出 f(t)=(f1)t (9) A(A0，t)=A0(f1)t (10) 这只须使用函数的连续性，逐步对t为整数、分数、实数推证即可。上述属于生长函数之类，分别称为资金率生长函数和资金生长函数。 §2.单位时间利率之互换 我们回顾一下符号式的含意。A0为初始本金。A(A0，t)为存期t的资金总额。A(A0，t)-A0=A0(f(t)-1)为其存期t的利息。(A(A0，t)-A0)/A0=f(t)-1为存期t的利率。而(A(A0，1)-A0)/A0=f1-1≡r称为单位时间利率。其值为常数，随选择的单位时间不同而不同。分别可称为年利率，月利率，日利率，等等。请注意，这里的“率”一词是相对于本金的。 显然，利息的计算应与时间单位的选择无关，此即利率不变原理。由此可以推出不同时间单位的单位时间利率之间的换算关系。 比如：设年利率、月利率、日利率分别记为γy,γm,γd。显然，以年利率γy存期1年的资金总额，应等于以月利率γm存期12个月的资金总额，也应等于以日利率γd存期365天的资金总额。即 (1+γy)=(1+γm)12=(1+γd)365 (11) 这就是利率不变原理。 从(11)可推出 γy=(1+γm)12-1=(1+γd)365-1 (12) γm=(1+γy)1/12-1=(1+γd)365/12-1 (13) γd=(1+γy)1/365-1=(1+γd)12/365-1 (14) 在实际中，时间单位常常是看如何方便计算来决定的，往往与计息周期相同
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