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离散时间保险风险模型的破产问题
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广告招租，e-mail:yesize@hotmail.com 一、模型的背景及数学描述 现实中通常用连续时间数学模型作为对离散时间现象的抽象描述，而在实际应用中又必须再次使其离散化。早在1986年，《ActuarialMathematios》[1]一书就专门讨论了离散时间的保险风险模型。该模型将单位时间内收取的保费视为常数，每一时期的理赔量视为独立同分布(i.i.d.)的随机变量，本文对此加以推广——将利率因素引入风险模型。引入利率以加强模型的现实描述能力，这是当前保险理论界和实务界特别关注的精算研究课题。Yang(1998)[3]曾对利率收入的离散风险模型进行了研究，利用鞅方法得出了破产概率的指数上界。 本文对引入利率的保险风险模型作了探讨，利用递推形式，得出了破产持续时间分布、破产前盈余分布等结论。 我们考虑保费收入为随机变量的利率收入离散时间模型。假定在我们所考虑的时间内具有固定利率r，u为保险公司的初始准备金，则在时刻n，保险公司的累积盈余为： 附图 附图 Z的分布由保费收入随机变量X和理赔支出随机变量Y的分布共同确定。 停时T为破产时刻，即保险公司的盈余首次小于0的时刻： 附图 以下各节我们将讨论在停时T(u)，保险公司破产前瞬时的盈余、破产持续时间等破产严重程度问题。 二、破产前盈余的分布 保险公司的财务状况和偿付能力是保险人和投保人都十分关心的问题，为了弄清保险公司出现入不敷出的实际状况，研究破产前瞬时保险公司的盈余情况是非常必要的。1988年Dufresne和Gerber首次引入描述破产前盈余分布状况的函数，有关问题立即成为破产理论中的重要研究论题。本文在引入利率的离散时间风险模型下，对这一问题进行了讨论。 附图 附图 综上所述，保险公司在破产前瞬间盈余的分布总是满足积分方程(10)，其中g[,1](u,x)由(7)给出。 三、破产持续时间 保险公司破产后，财务状况到底恶化到何种境地，困境将持续多长时间，这些不仅关系到保险人的前途命运，更影响到广大保户的切身利益。本节我们讨论破产持续时间的概率性质。 为了表明停时对初始准备金的依赖关系，将破产后保险公司的盈余首次回复为正的时刻τ(u)定义为： 附图 于是，破产持续时间定义为： 附图 附图 附图 四、数值计算 本节通过数值实例，说明前述方法及所得结论。 为了贴近现实情况，我们把保费收入随机变量X和理赔支出随机变量Y都取为离散型随机变量，它们的分布函数见表1。由表1给出的X和Y的分布，利用(3)式算出Z的分布列于表2。这里我们取r=0.04。 表1 保费收入和理赔支出的分布 附图 对于任意给定的准备金u和破产前瞬时盈余x，由(7)和(9)可计算g[,n](u,x)，n=1,2,…，由(6)可得到F(u,x)，在和式计算中忽略充分小的余项。对于不同的u,x值计算得到的F(u,x)在表3中给出。 表2 Z的分布ω[,k]=P(Z=z[,i]) 附图 表3 对于不同准备金的破产前瞬时盈余分布 附图 关于破产持续时间概率的计算步骤如下： (1)由(13),(14)递推计算Q[,k](u),k=1,2,…； 对于n=1： 附图 对于不同的准备u值计算得到的破产持续时间概率在表4中给出。 表4 对于不同准备金的破产持续时间概率&nb sp; 附图 从表3的数值计算结果可以看出，当初始准备金为给定值时，破产前瞬时的盈余分布随着x的增大而减小，这意味着在初始准备金给定的条件下，使盈余保持越高的水平其可能性越小，这和人们的直观认识以及盈余分布的定义都是相符的。另一方面，若破产前瞬时的盈余x给定，F(u,x)大体上呈下降态势，但并不是u的单调下降函数，这是由于保费收入和理赔支出的随机变动，使得盈余分布出现波动现象。 表4的计算结果表明，准备金越充足，破产持续一定时期的可能性越小，也就是准备金越多则越容易度过危机；而当准备金一定时，破产持续时间越长，其概率越小，说明保险公司屡遭恶运的可能性是比较小的。 【图略】
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